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        Anno Accademico 2014 - 2015

Complementi di Metodi matematici della Fisica   

Anno Accademico 2014-2015

Visualizzazione Estesa
Orario Lezioni Calendario Esami
Esercitatori
Corso di Laurea Laurea Magistrale
Anno di Corso: I anno
Periodo Didattico
Primo Semestre - I anno
C.F.U.6
Codice Ateneo 20402211
Curriculum Comune
Percorso Comune
Obiettivi: 
Acquisire una buona conoscenza dei metodi per la risoluzione di equazioni integrali e differenziali (ordinarie e alle derivate parziali) , nonché delle nozioni fondamentali della teoria degli operatori lineari su spazi infinito-dimensionali.                
Programma:
Premessa: 1. Il corso occuperà poco meno di 40 ore tra lezioni ed esercitazioni, e corrisponderà a 4 CFU. 2. In esso troveranno spazio argomenti non trattati, o soltanto accennati, nel corso di metodi matematici della laurea triennale. In dettaglio: A. Funzioni di variabile complessa. • Richiami sul prolungamento analitico. Integrali nel senso del V.P. e formule di Plemeli. Prolungamento analitico di rappresentazioni integrali e funzione Gamma di Eulero. Funzioni polidrome.: loro uso nel calcolo di integrali definiti. • Trasformata e antitrasformata di Laplace • Sviluppi asintotici: definizioni e proprietà, i simboli o, O,  . Calcolo approssimato di integrali dipendenti da un parametro: metodo di Laplace, della fase stazionaria e del punto di sella. Formula di Stirling. Equazioni differenziali ordinarie del II ordine con termine noto transiente. B. Spazi lineari infinito-dimensionali • Richiami sulla teoria dei funzionali lineari. Spazi di funzioni di prova. Funzionali lineari continui e distribuzioni. Trasformate di Fourier di distribuzioni. • Teorema fondamentale sulla diagonalizzazione degli operatori autoaggiunti compatti su spazi di Hilbert. • Basi ortogonali in L_2: i polinomi classici. C. Equazioni differenziali alle derivate parziali. • Cenno alle equazioni del I ordine e al metodo delle caratteristiche. • Le equazioni del II ordine “della Fisica Matematica”: Onde, Laplace, Calore. La soluzione fondamentale (funzione di Green) in una e più dimensioni. D. Equazioni alle differenze finite ordinarie e parziali: un cenno introduttivo. Come testo base di riferimento si può prendere “Metodi matematici della Fisica” di Bernardini Ragnisco e Santini. Un testo interessante, di cui si consiglia vivamente la consultazione, è “Mathematics for Physics and Physicists, di W.Appel, Princeton University Press, 2007.

Warning: The program of the course can vary from year to year according to the audience study plans and orientations. The main subjects will be always there, but emphasis can be put on one or another of them. 0. Reminder of elementary theory and applications of Fourier transform of functions and tempered distributions.(1) (1) Kolmogorov-Fomin : Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Dover pub. 1999 1. The classical `` Partial Differential Equations" of Mathematical Physics (2) 1.1 The heat equation 1.1.1 The heat equation on the infinite line. Solution via Fourier Transform, The Green function. Solution of the initial value problem. 1.1.2 The heat equation on the segment. Solution via Fourier series. 1.1.3 The heat equation in multidimensions: multidimensional Fourier transform and series, Green's function, initial value problem. 1.2 The Poisson equation in 1, 2 and 3 dimensions. The Green's function: solution by generalized Cauchy formula in 2 dimensions and by Fourier transform in 3 dimensions. Solution via separation of variables. 1.3 The wave equation in 1,2 and 3 space dimensions. The Green's function. General solution and solution of the initial value problem. (2) Among the numerous books and monographies on the subject, I recommend V.S. Vladimirov et al "A Collection of Problems on the Equations of Mathematical Physics", Springer Verlag, ISBN 0387166475 2. The Laplace transform (3) 2.1 Definition and properties. Laplace vs Fourier. 2.2 The convolution theorem. 2.3 Application to the solution of initial value problems for ordinary linear differential equations with constant coefficients. 2.4. The inverse Laplace transform: the Bromwich path. Examples. (3)The Laplace Transform: Theory and Applications; by Joel L. Schiff; Springer; 1999; ISBN: 9780387986982 3. Integral equations (4) 3.1 Classification: 1 st and 2nd type, Fredholm and Volterra. 3.2 Contraction mapping theorem and applications to linear integral equations of Fredholm and Volterra type. 3.3 Integral vs differential equations 3.4 Integral equations of convolution type and solution via Fourier or Laplace transform. 3.5 Integral equations with degenerate kernel: reduction to systems of linear algebraic equations. The Fredholm alternative in a finite dimensional setting (Rouche'-Capelli). 3.6 Integral equations of Fredholm type with Hilbert-Scmidt kernels: elementary analysis of the spectral theory. (4)Smirnov, Vladimir Ivanovič. 4: Integral equations and partial differential equations / V. I. Smirnov. - Oxford [etc.] : Pergamon ; Reading (Mass.) : Addison-Wesley, 1964. 4. Asymptotic analysis (5) 4.1 Reminder of definition and properties of asymptotic expansions. 4.2. A simple application: solution of linear differential equations with a rapidly decreasing inhomogeneous term: evaluation of the scattering coefficients. (5)M.Ablowitz and A.Fokas, Complex Variables, Cambridge Texts in Applied Matheamtics, Cambridge University Press, 1997.                

Materiale Didattico: (C.Bernardini et al)Metodi matematici della Fisica, Nuova Italia Scientifica [Kreyszig]
(Raimondi R. eRagnisco O.)Appunti ed esercizi sul web [E.R]
(W.Appel)" Mathematics for Physics and Physicists" [Princeton University Press 2007]
Note :         
Sito Web:


 

Università Degli Studi Roma Tre, via della Vasca Navale 84, 00146 Roma