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        Anno Accademico 2012 - 2013

Metodi Matematici per la Fisica   

Anno Accademico 2012-2013

Visualizzazione Estesa
Orario Lezioni Calendario Esami
Esercitatori Musso Fabio ;
Corso di Laurea Laurea Triennale
Anno di Corso: III anno
Periodo Didattico
Primo Semestre
C.F.U.12
Codice Ateneo 20401813
Obiettivi: 
Programma:
PROGRAMMA METODI MATEMATICI DELLA FISICA LAUREA TRIENNALE Parte I: Funzioni di variabile complessa I.1: Richiami sui numeri complessi: defi nizione e operazioni elementari; interpretazione geometrica. I.2: Funzioni analitiche: la nozione di dominio; le condizioni di Cauchy-Riemann; funzioni analitiche e funzioni armoniche; funzioni elementari di variabile complessa; il punto all'in finito e la sfera di Riemann; trasformazioni conformi. I.3: Singolarità di una funzione analitica; poli e zeri; singolarità essenziali; classifi cazione di funzioni analitiche monodrome: funzioni intere e meromorfe; punti di diramazione e polidromia; esempi di funzioni polidrome: le funzioni radice N-esima di z; Log(z); [(z-a)(z-b)]^(1/2). I.4: Integrazione delle funzioni di variabile complessa; integrali di linea; il teorema integrale di Cauchy (usando il lemma di Green nel piano) per domini semplicemente connessi; primitive di una funzione analitica; il caso dei domini multiplamente connessi; la formula integrale di Cauchy e i suoi corollari; il valor principale di un integrale e le formule di Plemelij (relazioni di dispersione); causalità e analiticità. I.5: Sviluppi in serie e rappresentazioni integrali; Rappresentazione integrale di Cauchy e suoi corollari.Teoremi di Liouville, in finita derivabilità, teorema del massimo modulo. Teorema di Morera. Teorema di Weierstrass sulla analiticità del limite di una successione uniformemente convergente di funzioni analitiche; serie di Taylor e dominio di convergenza; serie di Laurent e dominio di convergenza;il caso dello sviluppo in fratti semplici, senza dim. Il teorema dei residui e sue applicazioni; formule per il calcolo dei residui; il residuo all'in finito; singolarità e forma della serie di Laurent; prolungamento analitico mediante la serie di Taylor; prolungamento analitico di rappresentazioni integrali: la funzione Gamma di Eulero; calcolo di integrali con il metodo dei residui. I.6: Sviluppi asintotici; il concetto di sviluppo asintotico: o; O; ~; operazioni sugli sviluppi asintotici; metodi approssimati per il calcolo di integrali dipendenti da un parametro: integrazione per parti, metodo di Laplace, della fase stazionaria e del punto di sella; com- portamento asintotico della funzione Gamma e formula di Stirling. Parte II: Spazi Lineari II.1: Spazi lineari fi nito-dimensionali Spazi lineari finito-dimensionali; vettori colonna; operatori e matrici; spazi duali e vettori riga; cambiamenti di base e grandezze invarianti; sottospazi invarianti; spettro e decom- posizione spettrale di un operatore finito-dimensionale; spazi euclidei; matrici hermitiane, unitarie e normali e loro proprieta' spettrali: diagonalizzabilità di una matrice hermitiana, diagonalizzazione simultanea di due matrici hermitiane, diagonalizzabilità di una matrice normale; Funzioni di matrice: possibili defi nizioni e loro equivalenza; l'equazione lineare y = Ax e la decomposizione di uno spazio euclideo E = R(A)+Ker(A^+); equazioni di fferenziali lineari matriciali: dX/dt = AX +XB; lo spazio delle matrici nxn come spazio euclideo; basi ortogonali di matrici; le matrici di Pauli e le loro proprietà. N.B.La sezione II.1 puo' essere molto snellita, se non addirittura soppressa, qualora gli studenti abbiano modo di apprenderne il contenuto in altri corsi di matematica. Riterrei pero' comunque necessaria una trattazione degli argomenti:Funzioni di matrice, equazioni di erenziali matriciali, matrici di Pauli. II.2 : Spazi lineari astratti Spazi lineari; defi nizione e proprietà; dipendenza e indipendenza lineare; dimensione; spazi euclidei infi nito-dimensionali; spazi di Hilbert come spazi euclidei infinito-dimensionali separabili e completi; diseguaglianza di Bessel e eguaglianza di Parseval: completezza di un sistema ortonormale di vettori; spazi l_2; funzionali lineari su spazi di Hilbert; teorema di Riesz-Fisher e isomorfi smo tra l_2 e il suo duale; operatori limitati su spazi di Hilbert; operatore risolvente; spettro e insieme risolvente; spettro discreto, spettro continuo, spettro residuo; gli esempi degli operatori di innalzamento e abbassamento in l_2; operatori autoaggiunti compatti; Teorema di Hilbert-Schmidt (senza dim.) II.4: Distribuzioni Distribuzioni come "limite" di successioni di funzioni. Il concetto di funzione di prova: l'esempio dello spazio S delle funzioni di Schwarz; convergenza di una successione di distribuzioni; derivate di una distribuzione; esempi: la "delta" di Dirac e le sue derivate; derivata nel senso delle distribuzioni di una funzione discontinua; la delta di funzione; la funzione theta di Heavyside ; le distribuzioni (x+ieps)^(-1); P(1/x); le formule di Plemelij rivisitate; equazioni di ferenziali lineari con termine noto di tipo "delta". II.5: Trasformata di Fourier Dalla serie alla trasformata; definizione e proprietà della trasformata e dell'antitrasformata di Fourier; la trasformata di f'(x) e di xf(x); la trasformata di f(x + a) e di f(ax); il prodotto di convoluzione; trasformate di Fourier delle distribuzioni; uso della trasformata di Fourier per la soluzione di equazioni di fferenziali lineari. II.6: Equazioni diff erenziali Equazioni di fferenziali lineari e funzione di Green; l'operatore di Green per equazioni differenziali ordinarie lineari con condizioni al contorno: esistenza e unicità; le equazioni alle derivate parziali della fisica matematica: l'equazione di Poisson, l'equazione delle onde, l'equazione del calore; costruzione della soluzione fondamentale (funzione di Green) con il metodo della trasformata di Fourier. Bibliogra fia Gli argomenti svolti nel corso sono un sottoinsieme di quelli trattati nel libro Metodi matematici della Fisica di C.Bernardini, O.Ragnisco, P.M.Santini, NIS 1993 (attenzione agli errori di stampa!). Si consigliano inoltre, per ulteriori approfondimenti: Per la parte I: Chabat, Lavrentiev: Methodes de la Theorie des fonctions d'une variable complexe, MIR 1972; Markusevic: Elementi di teoria delle funzioni analitiche, Editori Riuniti 1988. Per la parte II: Dennery, Krzwicki: Mathematics for Physicists, Harper and Row, 1967; Fomin, Kolmogorov: Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, MIR 1980; Friedman Priciples and techniques of applied mathematics, Dover 1990; Kreyszig Advanced Engineering Mathematics , Wiley 1999; Kreyszig Introductory functional analysis, Wiley 1989. N.B. Gli argomenti saranno esposti in modo elementare, spesso \euristico"; cio' implica tra l'altro che tutta la parte di \analisi funzionale" sara' esposta senza ricorrere alla teoria della misura. Rimangono comunque esclusi dalla proposta di programma alcuni argomenti che posso eventualmente trovar posto nella laurea magistrale. Possibili esempi: Nella prima parte: Trasformazioni conformi, mappe di Moebius e relazione con il gruppo SL(2,C). Trasformazioni di Schwarz-Christo el. Approfondimenti sul prolungamento analitico. Equazioni di erenziali nel campo complesso e classi cazione dell loro singolarita'; funzioni ipergeometriche; i polinomi ortogonali come casi particolari (troncamento della serie iper- geometrica); funzioni di Bessel. Nella seconda parte: Teorema delle contrazioni su spazi metrici completi (punto sso): applicazioni all'analisi lineare e nonlineare. Equazioni integrali di Fredholm e di Volterra e metodi di soluzione.                        
Materiale Didattico: (C.Bernardini et al)Metodi matematici della Fisica, Nuova Italia Scientifica [Kreyszig]
Note: Avvertenze: il libro "Metodi matematici della fisica" di C.Bernardini et al. (Carocci) contiene diversi errori di stampa. Altri testi consigliati:   1. Chabat, Lavrentiev: Methodes de la Theorie des fonctions d'une variable complexe, MIR 1972(attenzione agli errori di stampa!);   2.Markusevic: Elementi di teoria delle funzioni analitiche, Editori Riuniti 1988; 3.  Dennery, Krzwicki: Mathematics for Physicists, Harper and Row, 1967;  4. Sveshnikov, Tikhonov, The Theory of functions of a complex variable, Mir Publishers, 1971; 5. Fomin, Kolmogorov: Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, MIR 1980; 6.Friedman, Principles and techniques of applied mathematics, Dover 1990; 7.Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics , Wiley 1999; 8.Kreyszig, Introductory functional analysis, Wiley 1989.      

Il corso è tenuto in collaborazione col dott. F. Musso               

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Materiale Del Corso


Esercizi di analisi complessa24/09/2012
esercizi non svolti sui numeri complessi25/09/2012
esercizi non svolti su funzioni di variabile complessa27/09/2012
esercizi non svolti sulla derivazione di funzioni di variabile complessa01/10/2012
esercizi non svolti sulla integrazione di funzioni di variabile complessa08/10/2012
esercizi non svolti sulle serie di funzioni di variabile complessa17/10/2012
Facsimile per l\'esonero del 12 Novembre 2012 03/11/2012
Pagine dallo Smirnov, Corso di Matematica Superiore, Vol III/2, Ed. Riuniti07/11/2012
Testo del compito d\'esonero del 12/11/201213/11/2012
Esercizi di algebra lineare14/11/2012
risultati esonero 12 Novembre 201219/11/2012
Esercizi di analisi funzionale03/12/2012
soluzione esonero 17/12/201220/12/2012
Risultati esonero 17/12/201220/12/2012
prova esonero 17/01/201317/01/2013
Programma finale del corso e modalita\' dell\'esame18/01/2013
Esonero 23/01/201324/01/2013
Esame 23/01/201324/01/2013
Risultati esonero ed esame 23/01/201328/01/2013
risultati esame 11/02/201313/02/2013

 

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